Читать статью 'Внутреннее алгебраическое представление стратегии как средство организации обучения математической деятельности' в журнале Современное образование на сайте nbpublish.com
Рус Eng За 365 дней одобрено статей: 1981,   статей на доработке: 330 отклонено статей: 619 
Библиотека

Вернуться к содержанию

Современное образование
Правильная ссылка на статью:

Внутреннее алгебраическое представление стратегии как средство организации обучения математической деятельности

Мельников Юрий Борисович

кандидат физико-математических наук

доцент, ФБГОУ "Уральский государственный экономический университет" доцент, ФГАОУ "Уральский федеральный университет имени первого президента России Б.Н.Ельцина"

620144, Россия, Свердловская область, г. Екатеринбург, ул. 8 Марта, 62, ауд. 476

Melnikov Yurii Borisovich

PhD in Physics and Mathematics

Docent, the department of Applied Mathematics, Ural State University of Economics Docent, Institute of Radioelectronics and information Technologies, Ural Federal University named after the first President of Russia B. N. Yeltsin

620144, Russia, Yekaterinburg, 8 Marta Street 62, office #476

UriiMelnikov58@gmail.com
Другие публикации этого автора
 

 
Привалов Сергей Михайлович

соискатель, кафедра , Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента Росс

620002, Россия, Свердловская область, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19

Privalov Sergei Mikhailovich

External Doctoral Candidate, Ural Federal University named after the first President of Russia B. N.Yeltsin

620002, Russia, Sverdlovskaya oblast', g. Ekaterinburg, ul. Mira, 19

smprivalov@gmail.com

DOI:

10.25136/2409-8736.2019.4.31402

Дата направления статьи в редакцию:

22-11-2019


Дата публикации:

24-11-2019


Аннотация.

Объект исследования - процесс обучения математике. Предметом исследования является стратегия деятельности. Предложено и изучено внутреннее алгебраическое представление стратегии деятельности, рассматриваемой как механизм создания плана деятельности. Ранее Ю.Б. Мельниковым предложена интерпретация алгебраического подхода к моделированию как система из трех компонентов: 1) системы базовых моделей; 2) системы типовых преобразований и типовых комбинаций моделей; 3) механизма аппроксимирования, предназначенного для приближенного представления рассматриваемой модели в виде результата применения типовых преобразований и типовых комбинаций базовых моделей. Внутреннее алгебраическое представление стратегии отличается тем, что базовыми элементами являются компоненты стратегии, в отличие от внешнего представления, когда базовыми элементами являются другие стратегии. Исследование имеет теоретический характер, хотя некоторые его результаты уже внедрены в практику обучения в Уральском государственном экономическом университете. В качестве теоретической базы использована теория моделирования Ю.Б. Мельникова, основанная на формально-конструктивной трактовке модели. Научная новизна работы состоит, во-первых, в построении модели стратегии как механизма создания планов деятельности, во-вторых, в выделении постулатов деятельности, с помощью которых выделены типовые преобразования и типовые комбинации планов деятельности. Предложен внутренний алгебраический подход к представлению стратегии, где под алгебраическим представлением понимается система из трех компонентов: а) системы базовых элементов; б) системы типовых преобразований и типовых комбинаций элементов; в) механизма аппроксимирования, предназначенного для (вообще говоря, приближенного) представления стратегии в виде результата применения типовых преобразований и типовых комбинаций базовых элементов.

Ключевые слова: стратегия деятельности, план деятельности, цель деятельности, алгебраический подход, алгоритм деятельности, эталонная модель, обучение математике, теория обучения, методика обучения, управление деятельностью

Abstract.

The object of this research is the process of teaching mathematics. The subject of this research is the strategy of teaching. The author suggest and examines the internal algebraic perception of teaching strategy viewed as the mechanism for creating the teaching plan. Earlier on, Y. B. Meknikov has proposed the interpretation of algebraic approach towards modelling as the system consisting of three components: 1) system of basic models; 2) system of typical transformations and standard combinations of models; 3) approximation mechanism intended for a similar understanding of the model in form of a result of typical transformations and standard combinations of basic models. The internal algebraic understanding of the strategy is distinguished by the fact that basic elements represent the components of the strategy, rather than the external perception, where the basic elements are a part of other strategies. The research carries a theoretical character, though some of its results have already been implemented into educational practice in the Ural State University of Economics. The theoretical framework relies on the modelling theory of Y. B. Melnikov, which is based on the formal-constructive interpretation of the model. The scientific novelty primarily consists in structuring of model of the strategy as a mechanism for creating plan of action, as well as distinction of the postulates of strategy that help to define the typical transformations and standard combinations of the plans of action. The author proposes an internal algebraic approach towards the concept of strategy, where the algebraic concept means a system consisting of three components: a) system of basic elements; b) system pf typical transformations and standard combinations of the elements; c) approximation mechanism intended for understanding of strategy in form of a result of application of typical transformations and standard combinations of the basic elements.

Keywords:

teaching methods, learning theory, teaching mathematics, reference model, activity algorithm, algebraic approach, goal of activity, plan of activity, strategy of activity, activity management

Управление деятельностью обучаемых является неотъемлемой частью работы преподавателя. Рассматриваются вопросы использования компьютеров и смартфонов в обучении [1, 2, 3]. Поэтому важнейшим компонентом обучения является организация учебной деятельности обучаемых. Математическая деятельность обычно не требует значительных материальных ресурсов и инструментов, требующих длительного обучения их использованию. Поэтому приоритетным компонентом обучения математической деятельности является усвоение обучаемыми способов организации и осуществления деятельности по достижению поставленной цели. Нередко преподаватели математики фактически контролируют только усвоение базовых алгоритмов математической деятельности и знаний, необходимых для выполнения этих алгоритмов. Методы, выходящие за рамки выбора оптимального алгоритма и его реализации, объявляются эвристическими, обучение таким методам считается обучением творчеству, что доступно не всем обучаемым, да и не всем педагогам. Существенно изменить ситуацию позволяет теория моделирования Ю.Б.Мельникова [4], основанная на формально-конструктивной трактовке модели. В данной работе мы рассмотрим применение одного из компонентов теории моделирования, который мы назвали теорией стратегий.

Цели работы. 1) Осуществить конструктивные формализации понятия «стратегия деятельности». 2) Разработать типовые формы представления стратегий, позволяющие свести оценку уровня владения стратегией к диагностируемым знаниям и умениям.

Средства и методы. Исследование имеет теоретический характер, хотя некоторые его результаты уже внедрены в практику обучения в Уральском государственном экономическом университете. В качестве теоретической базы использована теория моделирования Ю.Б. Мельникова, основанная на формально-конструктивной трактовке модели.

Основные результаты. В последние годы в качестве одного из популярных инструментов управления рассматривается стратегия деятельности. Термин «стратегия» интерпретируется как план (обобщенный или наоборот, детальный) [5, 6, 7], включая систему осознаваемых действий, приемов и методов деятельности [8], особенности организации последовательности действий [9]. Кроме того, иногда под стратегией обучения понимаются учебные модели, которые определяют четкие результаты обучения [10, с. 10]. В некоторых случаях термин стратегия используется, скорее, в смысле направления развития [1].

Под стратегией мы будем понимать механизм создания планов деятельности/ Мы разделяем понятия «стратегия деятельности» и «реализация стратегии», см. рис. 1.

Рис. 1. Стратегия и реализация стратегии.

Мы предложили осуществить описание базовых стратегий деятельности, их изучение и обучение их применению на основе алгебраического подхода к моделированию. В литературе рассматривается несколько интерпретаций этого термина. В частности, алгебраический подход трактуется как представление объекта в виде алгебраической системы [11, 12, 13], как использование алгебры алгоритмов [14], задание отношений с помощью алгебраических выражений [15], представление группы в алгебре операторов [16], как применение алгебраических операция для выполнения равносильных преобразований уравнений [17].

По нашему мнению алгебраический подход к моделированию состоит в выделении трех компонентов [18]: 1) системы базовых моделей; 2) системы типовых преобразований и типовых комбинаций моделей; 3) механизма аппроксимирования, предназначенного для приближенного представления рассматриваемой модели в виде результата применения типовых преобразований и типовых комбинаций базовых моделей.

В системе управления с помощью стратегий выделим внутренний и внешний варианты алгебраического подхода к реализации стратегий. Внутренняя реализация состоит в моделировании использования стратегии в ситуации, когда базовыми являются компоненты стратегии. Внешняя реализация отличается тем, что базовыми элементами являются другие стратегии (частные стратегии) [18].

В данной работе рассмотрим внутренний вариант алгебраического подхода к реализации стратегий.

Мы будем называть план деятельности связным, если связным является граф, вершинами которого являются пункты плана, причем два пункта связаны ребром тогда и только тогда хотя бы какой-то компонент результата выполнения одного из пунктов (т. е. достижения цели или выполнения алгоритма) является ресурсом для выполнения другого пункта.

Пример 1. Найти 1) площадь правильного треугольника со стороной a; 2) найти радиус вписанной в него окружности.

Рассмотрим два плана достижения цели, представленной требованием задачи. Планы основаны на чертеже, представленном рис. 2.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 1.

Первый план представляет собой систему пунктов:

a1) проведем высоты AD и BE треугольника ABC ;

a2) докажем, что они являются биссектрисами и медианами;

a3) покажем, что центр O вписанной окружности является точкой пересечения отрезков AD и BE ;

a4) докажем, что O D является радиусом вписанной окружности;

a5) докажем, что O D в три раза короче AD ;

a6) найдем длину AD ;

a7) вычислим радиус вписанной окружности как треть от длины отрезка AD ;

a8) вычислим площадь треугольника по формуле Герона.

Второй план будет отличаться только последним пунктом:

b8) вычислим площадь треугольника как половину произведения длин отрезков AD и BC.

Графы пунктов плана представлены на рис. 3.

Рис. 3. Графы пунктов планов решения примера 1.

Как видно из рис. 3 первый план не является связным, поскольку вершина a8 является изолированной в силу того, что вычисления по формуле Герона не используют результаты выполнения пунктов a1-a7. Второй план является связным в силу того, что вычисление площади по алгоритму, предложенному в пункте b8, требует результатов вычисления длины высоты AD , см. рис. 2.

В дальнейшем мы будем рассматривать только связные планы деятельности.

Назовем подпланом подпоследовательность пунктов исходного плана, образующих связный план деятельности. Для примера 1 в первом плане подпланом является последовательность пунктов (см. рис. 2):

a1) проведем высоты AD и BE треугольника ABC ;

a2) докажем, что AD и BE являются биссектрисами и медианами;

a4) докажем, что OH является радиусом вписанной окружности;

a5) докажем, что OH в три раза короче AD.

Данный подплан можно заменить на другой:

c1) проведем медианы AD и BE треугольника ABC ;

c2) докажем, что OH в три раза короче AD;

c3) докажем, что AD и BE являются биссектрисами и высотами;

c4) докажем, что OH является радиусом вписанной окружности.

В результате такой замены получим план из пунктов c1,c2,c3,c4,a3,a6,a7,a8.

Предлагаемая нами реализация алгебраического подхода к описанию стратегии основан на утверждениях, которые мы используем в качестве постулатов.

Определение понятия «цель деятельности». Под целью деятельности мы будем понимать систему эталонных моделей результата деятельности.

Адекватность плана деятельности и, соответственно, степень достижения цели определяются как результат сравнения прогнозируемого или, соответственно, достигнутого результата деятельности с эталонными моделями из состава цели.

Данное определение является конструктивным и позволяет измерять уровень знания и понимания типовых целей. Мы выделяем три типа эталонных моделей в составе цели: 1) язык модели; 2) конкретные эталонные образцы; 3) шаблоны, конкретизацией параметров которых получается конкретный эталонный образец. Например, рассуждая на уровне языка модели, приближенно функцию можно задать формулой, графиком и таблицей значений с различными вариантами аппроксимации значений функции для промежуточных значений аргумента. Задание функции формулой включает в себя эталонные модели, во-первых, в виде явных алгебраических представлений функции: формулой вида f (x )=…, параметрическое задание функции, задание функции как результат замены всех аргументов функции нескольких переменных на выражения от x , задание с помощью предельного перехода (например, в виде суммы ряда, определенного или несобственного интеграла, зависящего от параметра x ) и др., во-вторых, в виде косвенных алгебраических представлений функции: задание в виде неявной функции F (x ,y )=C , задание дифференциальным уравнением с дополнительными условиями (например, начальные условия в задаче Коши, граничные условия или что-то другое), задание интегральным уравнением и др. Мы применяем несколько полезных классификаций эталонных моделей в составе цели, описание которых выходит за рамки данной работы.

Постулат определенности пункта плана. Для каждого пункта выполнимого плана исполнителю известны критерии оценивания адекватности.

Иными словами исполнителю известен критерий выполненности пункта плана и механизм оценивания уровня достижения цели, т. е. эталонные модели, характеристики адекватности и способы их измерения.

Следствие о восприятии пункта плана. У разработчика плана деятельности и у его исполнителя существует только два варианта восприятия любого пункта плана деятельности: либо как ссылки на конкретный алгоритм действий (реже - его описание), либо как ссылки на цель деятельности без конкретизации способа ее достижения.

Обоснование. Оценка адекватности бывает двух типов: 1) оценка достоверности, т. е. результат сравнения с эталонной моделью, отражающей сущность прототипа (точнее, рассматриваемого его аспекта); 2) оценка корректности, т. е. результат сравнения с эталонной моделью, отражающей форму представления прототипа, следование формальным правилам (вообще говоря, не отражающих сущность прототипа). Если приоритетными являются оценки достоверности, то пункт плана воспринят субъектом (разработчиком плана или его исполнителем) как ссылка на цель деятельности. Если же приоритетными являются характеристики корректности, то это значит, что достижение цели отслеживается по строгости следования правилам, что характерно для алгоритмов.

Построение плана и выполнение плана возможно только при наличии определенных ресурсов. Мы примем в качестве постулата следующее предположение об источниках ресурсов.

Постулат источника ресурсов. Ресурсы для построения плана деятельности и для его реализации могут быть получены одним из трех способов: а) получены извне (например, в виде условия задачи или описаны в техническом задании, в договоре и др.); б) получены в результате обработки исходных ресурсов (Например, выполнение фрагмента создаваемого или построенного плана); в) использован ресурс из альтернативного источника с последующим возмещением этого ресурса в процессе разработки или реализации плана (ресурс взят «в долг»), или использовано временно необоснованное предположение с последующим доказательством этого предположения.

Постулат построения плана достижения цели. В случае, когда пункт плана воспринят как ссылка на цель, имеется три принципиально разные ситуации: а) субъекту деятельности не известен нетривиальный (т.е. состоящий из нескольких пунктов) готовый план достижения цели; б) в его распоряжении имеется несколько готовых алгоритмов и задача состоит в выборе оптимального из них; в) субъекту деятельности известны один или несколько планов достижения цели, описанной в пункте плана, но в каждом из них имеются ссылки на локальные цели, для которых предстоит найти или выбрать планы достижения этих целей.

Постулат субъективности восприятия пункта плана. Восприятие пункта плана как ссылки на конкретный алгоритм действий или ссылки на цель деятельности без конкретизации способа ее достижения являются субъективными, т. е. могут быть разными не только у разработчика плана и исполнителя плана, но даже у разных исполнителей.

В качестве основной модели базовой стратегии рассмотрим внутреннюю реализацию алгебраического подхода к построению плана как эталонной модели деятельности, причем мы рассматриваем только связные планы деятельности. Мы назвали эту модель внутренней, поскольку базовыми моделями в ней являются составные части данной стратегии, в отличие от внешней алгебраической модели (которую в данной работе мы рассматривать не будем), в которой базовыми элементами являются другие стратегии деятельности, принятые за базовые стратегии [18].

В качестве базисных элементов внутреннего алгебраического представления стратегии возьмем план из одного пункта, содержащих ссылку на типовую базовую цель или базовый алгоритм.

Типовые преобразования планов в рамках внутреннего алгебраического представления стратегии. В силу следствия о восприятии пункта плана каждый пункт трактуется исполнителем или создателем плана либо как ссылка на конкретный алгоритм, либо как ссылка на цель, способ достижения которой не указан.

Ситуация I: пункт плана воспринят как цель. Согласно постулату построения плана достижения цели возможно три случая.

Случай Iа): субъекту деятельности не известен нетривиальный (т.е. состоящий из нескольких пунктов) готовый план достижения цели. В этом случае возможна разработка нового плана (что требует подключения механизма аппроксимирования), но это явно не относится к базовым преобразованиям. Но к базовым преобразованиям можно прийти с помощью стратегии смены ролей и приоритетов [18], если подвергнуть изменению не план, а цель. В данном случае речь идет о такой корректировке цели, которая позволит использовать известный план. Корректировка цели состоит либо в ее обогащении новыми эталонными моделями (например, введение новых форм представления объекта), либо в удалении некоторых эталонных моделей (такое случается, когда учебное задание необходимо выполнить с помощью определенного инструментария, например, решить геометрическую задачу именно векторным методом), либо изменить некоторые из имеющихся эталонных моделей в составе цели, либо изменении характеристик эталонных моделей и отношений между эталонных моделей в составе цели.

Случай Iб) в распоряжении субъекта деятельности имеется несколько готовых алгоритмов и задача состоит в выборе оптимального из них. Если выбранный алгоритм не позволяет достичь цели или требует чрезмерного расхода ресурсов, возможна замена одного алгоритма другим. Применение стратегии смены ролей и приоритетов [18] приводит в рассматриваемом случае к замене пункта плана на цель его выполнения. Это согласуется с постулатом субъективности восприятия пункта плана, когда субъект сознательно меняет восприятие пункта плана.

Случай Iв) субъекту деятельности известны один или несколько планов достижения цели, описанной в пункте плана, но в каждом из них имеются ссылки на локальные цели, для которых предстоит найти или выбрать планы достижения этих целей. Обычно рассматривается процесс замены цели на план ее достижения. Применение стратегии смены ролей и приоритетов [18] приводит к преобразованию плана, в ходе которого субъект деятельности выделяет в имеющемся плане связный подплан и заменяет его на цель (цели) его выполнения.

Наконец, упорядоченность выполнения пунктов плана приводит к очевидному преобразованию плана в виде перестановки его пунктов. Естественным ограничением для выполнения этой перестановки выступает постулат источника ресурсов.

В итоге получаем внутреннюю алгебраическую модель стратегии деятельности, представленную на рис. 4.

Рис. 4. Внутренняя алгебраическая модель стратегии деятельности.

Систему базовых элементов алгебраической внутренней модели стратегии составляют типовые цели данной предметной области и базовые алгоритмы, см. рис. 4.

Типовыми преобразованиями и типовыми комбинациями планов являются следующие:

1) изменение пункта плана, воспринятого как цель, состоящее:

1a) в добавлении новых эталонных моделей в состав этой цели;

1b) удаление или корректировка эталонных моделей из состава цели;

1c) установление новых отношений на совокупности эталонных моделей в составе цели (в частности, новых свойств эталонной модели или совокупности эталонных моделей в составе цели);

1d) установление новых характеристик эталонных моделей в составе цели;

2) замена пункта плана, воспринятого как цель деятельности, на план достижения этой цели;

3) замена алгоритма на непосредственную цель выполнения этого алгоритма;

4) замена подплана исходного плана на систему пунктов, состоящих из непосредственных целей выполнения этого подплана и некоторых его подпланов;

5) замена одного алгоритма другим, позволяющим достичь той же цели;

6) замена одного подплана другим, обеспечивающим необходимыми ресурсами выполнение соответствующих пунктов плана или достижение требуемой цели;

7) если пункты P и Q некоторого плана – это цели или алгоритмы, причем результат реализации P используется как ресурс для Q , то пункт Q можно переставить в плане на место перед P только в случае, когда ресурсы для выполнения пункта Q могут быть взяты из некоторого внешнего источника, при условии, что эти ресурсы будут ему впоследствии компенсированы в результате выполнения пункта P .

Механизм аппроксимирования в мы в алгебраической внутренней модели стратегии на рис. 4 обозначили как механизм планирования. Он основан на анализе необходимых и имеющихся ресурсов, и анализе целей, в том числе вторичных, локальных. Механизм планирования предназначен, во-первых, для облегчения выбора оптимального плана достижения (локальной) цели, во-вторых, либо для упрощения доступа к ресурсам, либо для создания дополнительного ресурса. Например, применение метода рассуждений «от противного» для доказательства рассуждения дает доступ к ресурсу в виде отрицания Q . С этой точки зрения применение метода рассуждений «от противного» ( равносильно тому, что противоречиво) имеет преимущество перед использованием принципа контрапозиции ( равносильно ), поскольку разработчик плана имеет доступ не только к , но и к P .

Механизм планирования включает в себя метод восходящего и нисходящего анализа (называемые еще синтетическим и аналитическим методами), метод индукции (неполной, характерной для экспериментальных исследований, математической и трансфинитной), метод предвкушения, в частности, рассуждения «от противного», метод переформулирования (перевода на другой язык, использования моделей-полиад), метод аналогии и др.

Механизм планирования включает в себя метод частичного выполнения полученного плана деятельности с целью получения необходимых ресурсов для создания плана достижения локальной цели, т. е. для осуществления замены пункта плана, воспринятого как (локальная) цель, на план достижения этой локальной цели.

Метод корректировки цели или ее преобразования позволяет получать планы для других целей деятельности, что актуально, например, в исследованиях, в том числе научных.

Пример применения внутреннего алгебраического представления стратегии на примере реализации стратегии формализации понятий. Рассмотрим формализацию математического понятия «матрица» в форме определения этого понятия.

Эталонная модель в составе цели включается в себя, в частности, модель-шаблон «(Определяемым понятием ) называется (родовое понятие ), если (характеристическое свойство )». В этом шаблоне курсивом в круглых скобках выделены переменные, которые надо заменить их значениями для того, чтобы получить искомое определение.

Отсюда получаем типовой план: П1) сформировать (задать) объем определяемого понятия; П2) выбрать оптимальное родовое понятие; П3) выбрать набор свойств, из которых можно сконструировать характеристическое свойство объектов из определяемого понятия; П4) оформить результат в виде определения; П5) оценить (по возможности комплексно, многосторонне) адекватность полученного определения.

Пункт П1 воспринимается нами как цель (локальная). В полном объеме мы его пока реализовать не сможем. Поэтому применим типовое преобразование 1b) «удаление или корректировка эталонных моделей из состава цели», а именно пока ограничим объем понятия прямоугольными таблицами чисел.

Построим план выполнения пункта П2. Есть несколько типовых планов достижения этой цели.

Пл1) Найти определение в учебнике. Однако чаще всего применяемое определение «Матрица – это таблица чисел» не выдерживает проверки на адекватность в силу того, что «таблица» не является математическим понятием, поэтому не может рассматриваться как родовое понятие.

Пл2) Изменить роль рассматриваемого объекта. Этот план основан на том, что для субъекта, не являющегося профессиональным математиком, актуальны только два варианта отношения к математическим феноменам [19]: а) как к предмету деятельности (это феномен надо изучить, запомнить, обобщить, связать с другими и т.п.); б) как к инструменту деятельности. Во время поиска родового понятия мы относились к определяемому объекту как к предмету деятельности (надо обобщить определяемое понятие).

Пл3) Рассмотреть модели объекта из объема определяемого понятия (например, варианты его «шифрования», допускающие однозначную «расшифровку», т.е. позволяющие однозначно его восстановить).

Пл4) Рассмотреть «подобъекты» объекта из объема определяемого понятия. Например, в данном случае можно рассмотреть «подтаблицы»: строки, столбцы матрицы, прямоугольные миноры (здесь минор понимается как подматрица), диагонали и др.

Анализ имеющихся ресурсов и прогноза результатов применения каждого из этих планов позволяет сделать вывод, что наиболее адекватным ситуации является план Пл2 «Рассмотреть модели объекта из объема определяемого понятия». Рассмотрим матрицу не как предмет деятельности, а как инструмент. Как используется запись чисел в таблицу? Чаще всего для того, чтобы было проще адресоваться к конкретному числу в таблице: достаточно указать номер строки и столбца. В результате выполнения этого плана получили в качестве ресурса вторичную цель: надо подобрать родовое понятие для инструмента, позволяющего по номеру строки и номеру столбца однозначно указать элемент матрицы. Теперь для субъекта, имеющего хотя бы минимальные компетенции в области моделирования, наиболее адекватным представляется план Пл3 «рассмотреть модели рассматриваемого объекта». Надо построить образ таблицы чисел в виде математического понятия, позволяющего однозначно восстановить исходную таблицу по ее образу. Если при изучении понятия функции это понятие рассматривалось как инструмент деятельности, то естественным является предложить функцию в качестве искомого родового понятия (опыт обучения это подтверждает).

Теперь у нас появились ресурсы для выполнения пункта П3: «выбрать набор свойств, из которых можно сконструировать характеристическое свойство объектов из определяемого понятия». Для этого можно применить один из следующих типовых планов.

Пл’1) Рассмотреть свойства и характеристики, имманентные для объектов из родового понятия и выбрать наиболее значимые значения характеристик или наиболее значимые свойства.

Пл’2) В случае, если объект рассматривается как инструмент или ресурс, выяснить, какие особенности объекта являются необходимыми для выполнения критически важных функций этого объекта.

Пл’3) Выделить характеристические свойства для объектов, в чем-то аналогичных определяемому, и переформулировать их для объекта из определяемого понятия В случае, если прямая переформулировка невозможна, рассмотреть следствия из этого свойства, обращая особое внимание на утверждения, равносильные свойствам, характеристическим для аналогичного объекта.

Пл’4) Рассмотреть ситуацию, когда объект из определенного множества не принадлежит объему понятия.

Данные планы упорядочены по естественному приоритету. В данном случае успех приносит уже выполнение первого из них Пл’1) «Рассмотреть свойства и характеристики, имманентные для объектов из родового понятия и выбрать наиболее значимые значения характеристик или наиболее значимые свойства ». В результате получаем, что аргументом матрицы как функции являются упорядоченные пары вида «номер строки-номер столбца».

Теперь сложились условия для выполнения пункта П4) «оформить результат в виде определения». Мы рассматриваем простейшую ситуацию, когда элементами матрицы являются числа. В итоге формулируем определение в соответствии с выбранным ранее шаблоном: «матрицей называется функция с областью определения , область определения которой включается в числовое множество». Можно было использовать другой шаблон, например, «назовем функцию с числовыми значениями матрицей, если ее область определения имеет вид ».

Осталось выполнить пункт П5) «оценить (по возможности комплексно, многосторонне) адекватность полученного определения». Во-первых, можно оценить разные формулировки с литературной точки зрения, с позиций простоты запоминания формулировки, сравнить потенциал для усвоения понятия и др. Во-вторых, можно заменить существенное расхождение с привычной для учебника формулировкой «матрица ‑ это прямоугольная таблица чисел». Для выявления, в какой степени наша формулировка согласуется с общепринятой, можно применить следующие планы:

Пл’’1) сравнить объемы понятий, удовлетворяющих «классической» и «нашей» формулировкам;

Пл’’2) рассмотреть приоритетные утверждения из содержания одного понятия и выяснить, верны ли эти утверждения для любого элемента из объема «другого» понятия.

Пл’’3) рассмотреть типовые способы задания объекта из объема родового понятия;

Выполнение пунктов Пл’’1, Пл’’2 затруднительно в силу некорректности «общепринятого определения». В данном случае в процессе выполнения пункта Пл’’3) «рассмотреть типовые способы задания объекта из объема родового понятия» выясняется, что в школьном курсе математики рассматривались три способа задания функции: формулой, графиком и таблицей значений. В некоторых учебниках и пособиях добавляют «словесное» задание функции, но фактически это задание формулой (словесной формулой). В данном случае напрашивается применить задание функции таблицей значений. После удаления из нее номера строки и номера столбца остается таблица, которую и предлагается считать матрицей в большинстве учебников. Это означает, что в «общепринятом определении» объект (матрица) отождествляется с одним из способов его задания (таблица значений).

Предложенное нами описание процесса получения математически корректного определения матрицы выглядит громоздким и чрезмерно подробным. Разумеется, на учебном занятии подобная детализация не нужна. Во-первых, на самом деле большая часть типовых планов должна быть усвоена еще до применения этой стратегии, тогда их применение проходит латентно для субъекта, в «автоматическом режиме». Во-вторых, подробное описание рассматриваемого процесса позволяет обнаружить причины затруднений у обучаемых, сформировать эффективное учебно-методическое обеспечение и методик обучения. В-третьих, детализация рассматриваемого процесса необходима для создания эффективных автоматизированных систем обучения.

Отметим, что мы приступили к выполнению пункта П2 «выбрать оптимальное родовое понятие» в условиях, когда пункт П1 «сформировать объем определяемого понятия» был выполнен лишь частично. Однако это не помешало выполнению плана в целом.

Выводы. 1) Предложена конструктивная трактовка стратегии деятельности как механизма создания плана деятельности, рассматриваемого как эталонная модель деятельности. 2) Предложена трактовка пункта плана как ссылки либо на алгоритм деятельности, либо на цель деятельности, способ достижения которой не фиксирован. Отмечено, что восприятие конкретного пункта плана является субъективным. 3) Предложен внутренний алгебраический подход к представлению стратегии, где под алгебраическим представлением понимается система из трех компонентов: а) системы базовых элементов; б) системы типовых преобразований и типовых комбинаций элементов; в) механизма аппроксимирования, предназначенного для (вообще говоря, приближенного) представления стратегии в виде результата применения типовых преобразований и типовых комбинаций базовых элементов. 4) Предложен набор постулатов, позволяющий обосновать полноту списка типовых преобразований и типовых комбинаций внутреннего алгебраического представления стратегии.

Библиография
1.
 Титова, С. В. Мобильное обучение сегодня: стратегии и перспективы / С. В. Титова // Вестник Московского университета. Серия 19: лингвистика и межкультурная коммуникация. — 2012. — № 1. — С. 9–23.
2.
 Мельников, Ю. Б. Учебная литература по математике как инструмент управления деятельностью обучаемых / Ю. Б. Мельников, Н. В. Мельникова, А. А. Кныш // В сб. Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования, Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена. — 2018. — С. 196–198.
3.
 Голицына, И. Н. Эффективное управление учебной деятельностью с помощью компьютерных информационных технологий / И. Н. Голицына // Образовательные технологии и общество. — 2003. — Т. 6, No 2. — С. 77–83.
4.
 Мельников, Ю.Б. Математическое моделирование: структура, алгебра моделей, обучение построению математических моделей: Монография [Текст] / Ю.Б. Мельников.‑ Екатеринбург: Уральское издательство, 2004, 384 с.
5.
 Тестов, В. А. Стратегия обучения математике / В. А. Тестов. — М. : Технологическая Школа Бизнеса, 1999.
6.
 Тестов, В. А. Стратегия обучения в современных условиях / В. А. Тестов // Педагогика. — 2005. — No
7.
— С. 12–18. 7. Моделирование процесса обучения персонала организации и формирование стратегий управления обучением персонала / А. Колодин, В. И. Федянин, Л. В. Брянцева, М. Ю. Квашнина, Г. А. Спичкин // Современные технологии обеспечения гражданской обороны и ликвидации последствий чрезвычайных ситуаций. Сборник статей по материалам Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. — Воронежский институт Государственной противопожарной службы Министерства Российской Федерации по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий (Воронеж), 2013. — С. 322–325.
8.
 Фоменко, Л. Б. Обучение студентов технического вуза стратегиям самостоятельной работы с использованием новых информационных технологий: дис. ... канд. наук / Удмуртский государственный университет. — 2006. — 18 с.
9.
 Климова, Е. М. Когнитивные стратегии принятия решения школьниками и их взаимосвязь с успешностью обучения: дис. ... канд. наук / Московский государственный областной университет. — 2008. — 22 с.
10.
 Образовательные стратегии и технологии обучения при реализации компетентностного подхода в педагогическом образовании с учетом гуманитарных технологий: метод. реком. / Под ред. Б. В. Авво, А. Ахаян, А., Е. С. Заир-Бек и др. —– СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2008. – 108 с.
11.
 Алгебраический подход к автоматической генерации тестов для объектно-ориентированных программ: Отчет о НИР/НИОКР / Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова; Executor: Н.Н. Мансуров, И.В. Абрамов, Д.Ю. Жуков и~др.: 1997.
12.
 Махортов, С. Алгебраический подход к исследованию и оптимизации баз знаний продукционного типа / С.Д. Махортов, С.Л. Подвальный // Информационные технологии. — 2008. — № 8. — С. 55–60.
13.
 Сердюкова, Н. А. Алгебраический подход к системному представлению знаний в интеллектуальной автоматизированной системе обучения и контроля / Н. А. Сердюкова, В. И. Сердюков, Л. В. Глухова // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. — 2015. — No 3-2 (33-2). — С. 328–335.
14.
 M. Chukalina, I Polyakov, A. Terekhin, A. Ingacheva, A. Buzmakov, I Yakimchuk, I Varfolomeev, and D. Nikolayev. Large Scale Tomographic Reconstruction Algorithm Based on Algebraic Approach. In Verikas, A and Nikolaev, DP and Radeva, P and Zhou, J, editor, ELEVENTH INTERNATIONAL CONFERENCE ON MACHINE VISION (ICMV 2018), volume 11041 of Proceedings of SPIE, 1000 20TH ST, PO BOX 10, BELLINGHAM, WA 98227-0010 USA, 2019. Univ Elect Sci & Technol China; Halmstad Univ, SPIE-INT SOC OPTICAL ENGINEERING. 11th International Conference on Machine Vision (ICMV), Munich, GERMANY, NOV 01-03, 2018.
15.
 Rudolf Berghammer, Gunther Schmidt, and Michael Winter. Cryptomorphic topological structures: A computational, relation-algebraic approach. JOURNAL OF LOGICAL AND ALGEBRAIC METHODS IN PROGRAMMING, 102:17–45, JAN 2019.
16.
 Marcus De Chiffre, Narutaka Ozawa, and Andreas Thom. Operator algebraic approach to inverse and stability theorems for amenable groups. MATHEMATIKA, 65(1):98–118, 2019.
17.
 Несмеев, Ю. А. Об одном подходе к решению алгебраических уравнений 3-й и 4-й степеней / Ю. А. Несмеев // Вестник Томского государственного университета. математика и механика. — 2011. — № 1 (13). — С. 26–30.
18.
 Мельников, Ю.Б. Алгебраический подход к математическому моделированию и обучению математической и «предматематической» деятельности / Ю.Б. Мельников, К.С. Поторочина/ Ярославский педагогический вестник, 2010, № 3: Физико-математические и естественные науки.‑ с.19-24.
19.
 Мельников, Ю.Б. Отношение к математическим феноменам и их влияние на обучение математике / Ю. Б. Мельников, С.А. Шитиков, С.Г. Синцова // Вестник Томского государственного педагогического университета.—2017.—№ 8 (185).—С. 108–113
References (transliterated)
1.
 Titova, S. V. Mobil'noe obuchenie segodnya: strategii i perspektivy / S. V. Titova // Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 19: lingvistika i mezhkul'turnaya kommunikatsiya. — 2012. — № 1. — S. 9–23.
2.
 Mel'nikov, Yu. B. Uchebnaya literatura po matematike kak instrument upravleniya deyatel'nost'yu obuchaemykh / Yu. B. Mel'nikov, N. V. Mel'nikova, A. A. Knysh // V sb. Nekotorye aktual'nye problemy sovremennoi matematiki i matematicheskogo obrazovaniya, Rossiiskii gosudarstvennyi pedagogicheskii universitet im. A.I. Gertsena. — 2018. — S. 196–198.
3.
 Golitsyna, I. N. Effektivnoe upravlenie uchebnoi deyatel'nost'yu s pomoshch'yu komp'yuternykh informatsionnykh tekhnologii / I. N. Golitsyna // Obrazovatel'nye tekhnologii i obshchestvo. — 2003. — T. 6, No 2. — S. 77–83.
4.
 Mel'nikov, Yu.B. Matematicheskoe modelirovanie: struktura, algebra modelei, obuchenie postroeniyu matematicheskikh modelei: Monografiya [Tekst] / Yu.B. Mel'nikov.‑ Ekaterinburg: Ural'skoe izdatel'stvo, 2004, 384 s.
5.
 Testov, V. A. Strategiya obucheniya matematike / V. A. Testov. — M. : Tekhnologicheskaya Shkola Biznesa, 1999.
6.
 Testov, V. A. Strategiya obucheniya v sovremennykh usloviyakh / V. A. Testov // Pedagogika. — 2005. — No
7.
— S. 12–18. 7. Modelirovanie protsessa obucheniya personala organizatsii i formirovanie strategii upravleniya obucheniem personala / A. Kolodin, V. I. Fedyanin, L. V. Bryantseva, M. Yu. Kvashnina, G. A. Spichkin // Sovremennye tekhnologii obespecheniya grazhdanskoi oborony i likvidatsii posledstvii chrezvychainykh situatsii. Sbornik statei po materialam Vserossiiskoi nauchno-prakticheskoi konferentsii s mezhdunarodnym uchastiem. — Voronezhskii institut Gosudarstvennoi protivopozharnoi sluzhby Ministerstva Rossiiskoi Federatsii po delam grazhdanskoi oborony, chrezvychainym situatsiyam i likvidatsii posledstvii stikhiinykh bedstvii (Voronezh), 2013. — S. 322–325.
8.
 Fomenko, L. B. Obuchenie studentov tekhnicheskogo vuza strategiyam samostoyatel'noi raboty s ispol'zovaniem novykh informatsionnykh tekhnologii: dis. ... kand. nauk / Udmurtskii gosudarstvennyi universitet. — 2006. — 18 s.
9.
 Klimova, E. M. Kognitivnye strategii prinyatiya resheniya shkol'nikami i ikh vzaimosvyaz' s uspeshnost'yu obucheniya: dis. ... kand. nauk / Moskovskii gosudarstvennyi oblastnoi universitet. — 2008. — 22 s.
10.
 Obrazovatel'nye strategii i tekhnologii obucheniya pri realizatsii kompetentnostnogo podkhoda v pedagogicheskom obrazovanii s uchetom gumanitarnykh tekhnologii: metod. rekom. / Pod red. B. V. Avvo, A. Akhayan, A., E. S. Zair-Bek i dr. —– SPb.: Izd-vo RGPU im. A.I. Gertsena, 2008. – 108 s.
11.
 Algebraicheskii podkhod k avtomaticheskoi generatsii testov dlya ob''ektno-orientirovannykh programm: Otchet o NIR/NIOKR / Moskovskii gosudarstvennyi universitet im. M.V.Lomonosova; Executor: N.N. Mansurov, I.V. Abramov, D.Yu. Zhukov i~dr.: 1997.
12.
 Makhortov, S. Algebraicheskii podkhod k issledovaniyu i optimizatsii baz znanii produktsionnogo tipa / S.D. Makhortov, S.L. Podval'nyi // Informatsionnye tekhnologii. — 2008. — № 8. — S. 55–60.
13.
 Serdyukova, N. A. Algebraicheskii podkhod k sistemnomu predstavleniyu znanii v intellektual'noi avtomatizirovannoi sisteme obucheniya i kontrolya / N. A. Serdyukova, V. I. Serdyukov, L. V. Glukhova // Vektor nauki Tol'yattinskogo gosudarstvennogo universiteta. — 2015. — No 3-2 (33-2). — S. 328–335.
14.
 M. Chukalina, I Polyakov, A. Terekhin, A. Ingacheva, A. Buzmakov, I Yakimchuk, I Varfolomeev, and D. Nikolayev. Large Scale Tomographic Reconstruction Algorithm Based on Algebraic Approach. In Verikas, A and Nikolaev, DP and Radeva, P and Zhou, J, editor, ELEVENTH INTERNATIONAL CONFERENCE ON MACHINE VISION (ICMV 2018), volume 11041 of Proceedings of SPIE, 1000 20TH ST, PO BOX 10, BELLINGHAM, WA 98227-0010 USA, 2019. Univ Elect Sci & Technol China; Halmstad Univ, SPIE-INT SOC OPTICAL ENGINEERING. 11th International Conference on Machine Vision (ICMV), Munich, GERMANY, NOV 01-03, 2018.
15.
 Rudolf Berghammer, Gunther Schmidt, and Michael Winter. Cryptomorphic topological structures: A computational, relation-algebraic approach. JOURNAL OF LOGICAL AND ALGEBRAIC METHODS IN PROGRAMMING, 102:17–45, JAN 2019.
16.
 Marcus De Chiffre, Narutaka Ozawa, and Andreas Thom. Operator algebraic approach to inverse and stability theorems for amenable groups. MATHEMATIKA, 65(1):98–118, 2019.
17.
 Nesmeev, Yu. A. Ob odnom podkhode k resheniyu algebraicheskikh uravnenii 3-i i 4-i stepenei / Yu. A. Nesmeev // Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. matematika i mekhanika. — 2011. — № 1 (13). — S. 26–30.
18.
 Mel'nikov, Yu.B. Algebraicheskii podkhod k matematicheskomu modelirovaniyu i obucheniyu matematicheskoi i «predmatematicheskoi» deyatel'nosti / Yu.B. Mel'nikov, K.S. Potorochina/ Yaroslavskii pedagogicheskii vestnik, 2010, № 3: Fiziko-matematicheskie i estestvennye nauki.‑ s.19-24.
19.
 Mel'nikov, Yu.B. Otnoshenie k matematicheskim fenomenam i ikh vliyanie na obuchenie matematike / Yu. B. Mel'nikov, S.A. Shitikov, S.G. Sintsova // Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta.—2017.—№ 8 (185).—S. 108–113

Результаты процедуры рецензирования статьи

В связи с политикой двойного слепого рецензирования личность рецензента не раскрывается.
Со списком рецензентов издательства можно ознакомиться здесь.

Предмет исследования представленной статьи – алгебраическое строение теории стратегии в проекции на процесс управления математической деятельностью обучаемых. Актуальность работы обусловлена поисками и осмыслением новых методологических подходов управления деятельностью обучаемых. Автор опирается на алгебраический подход и методы математического моделирования (в частности, на теорию моделирования Ю.Б. Мельникова). На протяжении статьи автор предлагает характеристику ряда базовых понятий («стратегия деятельности», «реализация стратегии», «цель деятельности» и др.) в опоре на алгебраический подход и теорию моделирования. Автор поэтапно раскрывает процесс построения планов деятельности (с вариантами подпланов), базирующихся на внутреннем алгебраическом представлении. Попутно автор характеризует специфику восприятия составляющих плана деятельности в их взаимообусловленности в виде ряда постулатов («постулат источника ресурсов», «постулат субъективности восприятия пункта плана» и др.). Отдельно автором разбираются типовые преобразования планов в рамках внутреннего алгебраического представления стратегии. Статья дополнена рисунками и схемами, обобщающими текстовое описание. Работа имеет четкую структуру, но перегружена деталями, что осознается самим автором статьи: «Предложенное нами описание процесса получения математически корректного определения матрицы выглядит громоздким и чрезмерно подробным». К работе, на взгляд рецензента, могут быть применены небольшие стилистические редакторские правки: 1. Опечатки (лишний предлог): «Механизм аппроксимирования в мы в алгебраической внутренней модели». 2. Например, в выводах пункт 3в. вместо представленного: «предназначенного для (вообще говоря, приближенного) представления стратегии»; может быть изложен: «предназначенного для представления (приближенного) стратегии». Работа узконаправленная, представляет интерес для профессиональной читательской аудитории. Библиография соответствует содержанию статьи. Статья рекомендуется к публикации.