Читать статью 'Методики расчета влияния нестационарных температурных полей в криолитозоне на фундамент' в журнале Арктика и Антарктика на сайте nbpublish.com
Рус Eng За 365 дней одобрено статей: 1920,   статей на доработке: 347 отклонено статей: 543 
Библиотека

Вернуться к содержанию

Арктика и Антарктика
Правильная ссылка на статью:

Методики расчета влияния нестационарных температурных полей в криолитозоне на фундамент

Сидняев Николай Иванович

доктор технических наук

профессор, кафедра ФН-1 "Высшая математика", Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана

105005, Россия, г. Москва, ул. 2-Я бауманская, 5 стр.1

Sidnyaev Nikolay Ivanovich

Doctor of Technical Science

Professor, the department of Further Mathematics, Bauman Moscow State Technical University

105005, Russia, g. Moscow, ul. 2-Ya baumanskaya, 5 str.1

sidnyaev@bmstu.ru
Васильев Василий Иванович

доктор физико-математических наук

профессор, кафедра Вычислительные технологии, ФГАОУ ВО Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова

677000, Россия, республика Саха (якутия), г. Якутск, ул. Белинского, 58

Vasiliev Vasilii Ivanovich

Doctor of Physics and Mathematics

Professpt. Head of the department of Computational Technologies, Ammosov North-Eastern Federal University

677000, Russia, respublika Sakha (yakutiya), g. Yakutsk, ul. Belinskogo, 58

vasvasil@mail.ru
Ильина Юлия Сергеевна

старший преподаватель, кафедра ФН-1 "Высшая математика", Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана

105005, Россия, г. Москва, ул. 2-Я бауманская, 5 стр.1

Ilina Yuliya Sergeevna

Senior Educator, the department of Further Mathematics, Bauman Moscow State Technical University

105005, Russia, g. Moscow, ul. 2-Ya baumanskaya, 5 str.1

jm.bmstu@yandex.ru

DOI:

10.7256/2453-8922.2020.2.32405

Дата направления статьи в редакцию:

16-03-2020


Дата публикации:

01-06-2020


Аннотация.

Статья посвящена вопросам математического моделирования и вычислительного эксперимента в задачах составления прогноза изменений температурного режима ленточного фундамента, оснований зданий и сооружений в криолитозоне, которые позволят осуществлять качественный подход к проведению нестационарных тепловых расчетов грунтов и оснований для принятия проектных решений по обеспечению устойчивости и эксплуатационной надежности оснований и фундаментов сооружений в Арктической зоне.Сформулирована задача составления прогноза в виде определения изменений температурного режима, площадного распространения, мощности и вертикального строения, сезонного и многолетнего промерзания вечномерзлых грунтов, их температурно-прочностного состояния и свойств в связи со строительством зданий и сооружений. Представленные теоретические разработки основаны, главным образом, на предположении о нестационарности процесса теплообмена. На основании данных натурных наблюдений предложены математические модели для определения глубины протаивания. Решена задача определения температуры в основании фундамента, ограниченного с одной стороны, в котором температура зависит только от одной координаты с условием, что температура поверхности вечномерзлого грунта под влиянием внешних воздействий претерпевает периодические колебания около нулевого значения. Показано, что двумерную задачу о вечномерзлом грунте полубесконечной толщины фундамента можно обобщить еще в большей степени, если положить, что изменение температуры окружающей среды происходит не по законам гармонического колебания, а по любому другому закону. Сформулирована математическая постановка задачи в виде дифференциального уравнения теплового баланса с учетом теплового потока, изменяющегося по закону Фурье.

Ключевые слова: криолитозона, температурное поле, грунт, фундамент, управление, дифференциальные уравнения, теплообмен, вечномерзлый грунт, нестационарное поле, температурный прогноз

Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ №19-11-0230 «Разработка иерархических математических моделей и эффективных вычислительных алгоритмов для решения комплексных научно-технических проблем криолитозоны»

Abstract.

 
This article is devoted to the mathematical modeling and computing experiment in problems of temperature fields forecast in continuous foundations in cryolithozone, which will provide a qualitative approach to non-stationary thermal calculations for making design decisions to ensure the stability and reliability of bases and foundations of buildings in the Arctic zone.  The article formulates the problem of forecasting by determining changes in the temperature, areal distribution, thickness, and vertical structure of permafrost, seasonal and perennial freezing of the soil, their temperature strength state, and properties in connection with the construction of buildings. Presented mathematical calculations are based mainly on the assumption of a non-stationary process of heat exchange. Mathematical models for determining depth of thawing are considered. The problem of determining the temperature in the basement of the foundation, limited on the one side, in which the temperature depends on only one coordinate with the condition that the surface temperature of the permafrost soil undergoes periodic fluctuations around zero value under the influence of external influences, has been solved. It is demonstrated that the two-dimensional problem of permafrost ground with a semi-infinite foundation thickness can be generalized even more. The problem is formulated in the form of a differential equation of heat balance taking into account the heat flux, which varies according to the Fourier’s law.
 

Keywords:

permanently frozen soil, heat transfer, differential equations, control, foundation, ground, temperature field, cryolithozone, nonstationary field, temperature forecast

1. Введение

Температурный режим (совокупность последовательных температурных полей в грунтовом массиве, соответствующих любым заданным моментам времени от начала расчета) рассчитывается как результат задаваемых на весь период расчета прогноза тепловых воздействий на верхней, боковых и нижней границах оснований фундамента. Такие режимы протекают, например, при образовании и эволюции внутреннего строения Земли и полярных льдов в криолитозоне, а также в ряде других областей науки и практики [1-5]. Наиболее характерной особенностью этих процессов, из-за которых их математические модели нелинейны и трудны для ее анализа, являются неизвестные заранее («свободные») границы между различными фазами (в случае однородного вещества) или «многофазная зона» (в многокомпонентной среде), определяемые с помощью поверхностей уровня функций, описывающих термодиффузионное состояние грунтов [1-3]. Многие климатические явления, имеющие важное значение для геотехнических сооружений на вечной мерзлоте, представляют собой непрерывное повторение одного и того же неизменного сезонного цикла [1]. Этим обусловливаются периодические гармонические колебания всех величин, определяющих состояние геотехнического сооружения, в том числе и температуры. Однако и при других процессах также происходят периодические гармонические изменения состояния, вызванные постоянно повторяющимися воздействиями (например, сезонные) [1]. Ход изменения температуры за время одного периода может иметь при этом различный характер; например, температура может изменяться скачкообразно, непрерывно возрастать или убывать и т. д.

2. Периодически изменяющаяся температура оснований фундаментов. Постановка задачи

Метод, известный под названием гармонического анализа, позволяет представить любую произвольно заданную периодическую кривую с любой степенью точности как результат наложения большого числа различного рода косинусоид. Отметим ряд явлений, обладающих следующими общими свойствами:

1) допустим, что температура поверхности или температура окружающей среды испытывает чисто периодические гармонические колебания во времени (принимается, что колебания являются гармоническими).

2) предполагается, что температурное поле определяется только внешними воздействиями (тепловой поток из центра Земли не учитывается).

Предварительно исследуем вопрос о виде температурного поля, а затем о тепловом потоке через поверхность. Для времени и температуры приняты следующие обозначения:

t – время, отсчитываемое от произвольного начального момента; t 0 – продолжительность всего периода; ϑ – температура в какой-либо точке; ϑ M – максимальная амплитуда колебания температуры в этой точке; ϑ 0 – температура на поверхности криолитозоны; ϑ 0M – максимальная амплитуда колебания температуры на поверхности.

Искомая температурная функция прежде всего должна удовлетворять дифференциальному уравнению [2]:

. (1)

Температурная функция связана с определенными условиями на поверхности, согласно которым


или . (2)

Оба условия (2) совершенно равносильны и различаются только сдвигом нулевой точки начала оси времени на π/2. Таким образом, для того чтобы сделать функции тождественными, достаточно допустить сдвиг фазы на π/2. Поэтому в дальнейшем будет рассматриваться только косинус-функция. Для отыскания частных интегралов представим решение в виде произведения двух таких функций, из которых одна зависит только от времени, а другая – только от координат: ϑ=φ (t )ψ (ξ,η,ζ ). В случае процессов непрерывного выравнивания температуры надо положить φ (t )= e - pt . Приняв предположение о периодическом характере изменения температуры на поверхности, должны ожидать, что и в более глубоких слоях температура также изменяется во времени периодически [4,5,6]. Поэтому экспоненциальная функция в этой форме не применима. Применим соотношение, используемое в теории функций комплексного переменного:
. Предположим p = q 2 a . Тогда будем иметь .

Это в свою очередь дает

. (3)

Отсюда получаем следующее уравнение для ψ : .

Дифференциальное уравнение (3) содержит отрицательный чисто мнимый параметр. Воспользуемся следующим соотношением: √- i=± (1−i )√1/2 [6, 7]. Применив это выражение, можем записать дифференциальное уравнение в виде:

. (4)

На месте действительной величины q (4) использована комплексная величина ± (1−i )√1/2q .

В качестве примера рассмотрим задачу определения температуры в нижней части фундамента, ограниченной с одной стороны, в котором температура зависит только от одной координаты. Температура поверхности вечномерзлого грунта под влиянием внешних воздействий претерпевает периодические колебания около нулевого значения [7-9]. Допустим, что изменение температуры происходит по закону гармонических колебаний. Определим вид температурного поля и величину потока тепла через поверхность грунта как функцию от времени. Выражение представляет собой частный интеграл уравнения теплопроводности, если ψ (x ) – решение уравнения

. (5)

Таким решением является уравнение

. (6)

Соответственно получаем выражение

. (7)

С помощью формулы e-iϕ =cosϕi sinϕ преобразуем это выражение к виду

. (8)

В результате находим ϑ=ϑ 1+i ϑ 2. Положительный знак экспоненты означает, что по мере удаления от поверхности температурные колебания должны все время убывать. Поэтому по физическим соображениям можно во всех случаях отбросить верхний знак. Тогда остаются два решения:

и . (9)

Для определения произвольных постоянных С и q воспользуемся условиями на поверхности грунта, полагая в обоих уравнениях (9) x =0 . Получим: ϑ 0=C 1cos(q 2at ) или ϑ 0=C 2sin(q 2at ). Сопоставляя эти выражения с условиями на поверхности [2], находим C 1 0M и C 2=0; q 2=π/ t 0. Тогда уравнение (8) температурного поля принимает вид

. (10)

При обсуждении полученного результата можно принять две различные точки зрения:

1) можно фиксировать определенный момент времени года и исследовать вид температурного поля в этот момент [9,10]. Иначе говоря, можно получить мгновенную картину распределения температуры;

2) можно рассматривать бесконечно тонкий слой грунта на глубине х и исследовать те изменения во времени, которые претерпевает температура в этом слое.

Примем вначале первый метод рассмотрения и начнем при этом с простейшей функции

. (11)

Эта зависимость представляет собой уравнение волны и изображается косинусоидой. Наибольшее отклонение (максимальная амплитуда) равно ϑ 0M . Полная длина волны определяется из уравнения x √(π/ at 0)=2π , откуда для длины волны получаем x = Λ=2√(π at 0).

Гребни волны находятся в точках x 1=0; x 2=2√(π at 0); x 3=4√(π at 0) и т.д.

Функция

(12)

представляет собой такую же волну, только при этом вся кривая смещена соответственно величине 2π t / t 0 в направлении положительных х . Таким образом, при непрерывно возрастающем t вся кривая волны перемещается в этом направлении и образует семейство волн. Из теории волн [7], скорость распространения равна длине волны, деленной на период колебания. Поэтому скорость перемещения какой-нибудь точки волны, например точки максимума, равна ω =2√(π a / t 0). Этот множитель не изменяет ни разности фаз, ни скорости распространения, ни длины волны, но обусловливает очень быстрое уменьшение наибольшего отклонения с возрастанием х . На рис. 1 показаны температурные кривые для двух смежных моментов времени.

Рис. 1. Распределение температуры при периодическом изменении температуры поверхности грунта.

х – длина волны; ϑ M – максимальная амплитуда колебания температуры в этой точке; ϑ 0 – температура на поверхности криолитозоны; ϑ 0M – максимальная амплитуда колебания температуры на поверхности.

Рис. 1 дает ясное представление о виде температурных волн в грунте для нескольких фаз колебания, различающихся по времени на величину t 0/8. Применим теперь второй метод рассмотрения, когда наблюдается временной ход температуры на глубине х . В таком случае следует принять х за постоянный параметр, a t – за переменную. При этом оказывается, что ϑ x изменяется в зависимости от t также по закону косинуса. Период колебания равен t 0 и, таким образом, не зависит от глубины х (см. рис. 2). В противоположность этому фаза зависит от х : при возрастающих х происходит отставание по фазе (сдвиг фазы), которое определяется выражением

.

На глубине x = √(π at 0) этот сдвиг в точности равен t 0/2. Максимальная амплитуда также изменяется в зависимости от х, так как: ϑ xM =ϑ 0M exp(−x √(π/ at 0)). Можно, например, определить на какой глубине грунта температурные колебания уменьшатся до v - й доли своего значения на поверхности. Для решения этой задачи следует решить уравнение:

v -1=exp(−x√(π /at 0)), x=lnν√(at 0/π) .

Рис. 2. Температурные волны в слое грунта: по оси абсцисс отложена температура ϑ , по оси ординат – глубина проникновения x = Λ=2√(π at 0):

1 – огибающая ϑ =ϑ 0M exp(−x √(π a / t 0)); 2 – t = 4t 0/8; 3 – t = 3t 0/8; 4 – t = 2t 0/8; 5 – t = t 0/8; 6 – t = 0;

7 – Λ/8; 8 – 2Λ/8; 9 – 3Λ/8; 10 – 4Λ/8; 11 – 5Λ/8; 12 – 6Λ/8;13 – 7Λ/8; 14 – 8Λ/8.

Вводя вместо отрезка √(at 0) длину волны Λ=2√(π at 0), получим

. (13)

Длина волны (а вместе с ней и глубина проникновения температурных волн) будет тем больше, чем больше теплопроводность и чем медленнее происходят колебания. Колебания более высокой частоты с возрастанием глубины отсеиваются. Ход температуры в поверхностном слое грунта можно трактовать с известными упрощениями как чистую проблему теплопроводности [10]. Для примера рассмотрим годичный ход температуры поверхности грунта как гармоническое колебание с периодом t 0=1 год=8760 ч и примем для грунта коэффициент температуропроводности а =0,0015 м2/ч.

На глубине x = √(π at 0)=√(1,5·10-3π· 8,78·103)=6,4 м получается сдвиг фазы на полгода. Это значит, что здесь наивысшая температура устанавливается в июле, а наиболее низкая – в январе. Амплитуды температурных колебаний на этой глубине составляют только ϑ xM 0M = e 1/23 от значения их на поверхности. Для суточных колебаний температуры поверхности (t 0=24 ч) явления, описанные выше, возникают уже на глубине в √365 19 раз меньшей [10]. Таким образом, эти колебания проникают в землю на глубину всего лишь нескольких метров, тем более, что амплитуда их на поверхности составляет только некоторую часть от амплитуды годовых колебаний [11-14].

3. Поток тепла через поверхность грунта

Определим поток тепла с помощью температурного градиента у поверхности грунта [2,6,7]:

. (14)

Здесь λ – коэффициент теплопроводности грунта поверхности F. Уравнение (14) после дифференцирования по х примет вид:

, (15)

,

.

Если проинтегрировать выражение (15) по длительности периода, то получится значение, равное нулю. Поэтому вопрос следует поставить таким образом: как велико количество теплоты, которое пронизывает внешнюю поверхность грунта в течение полупериода, иначе говоря, то количество теплоты, которое грунт в состоянии аккумулировать и вновь отдать. Интегрирование по полупериоду t 0/2 дает:

. (16)

Таким образом, количество аккумулированной теплоты пропорционально коэффициенту проникновения b и корню квадратному из длительности t 0 одного периода.

Более характерной является такая постановка задачи, когда закон изменения задается не для температуры поверхности грунта, а для температуры окружающей среды [15-18]. Итак, пусть Θ=ΘМ cos(2πt / t 0). Предположим, что известен коэффициент теплоотдачи от среды к грунту а , следовательно, и относительный коэффициент теплоотдачи h = a . Можно определить, как в таком случае изменяется температура на поверхности и внутри грунта.

. (17)

Введем сокращенные обозначения:

, . (18)

Тогда уравнение принимает вид:

. (19)

В уравнении (19) η 0 и ε 0 ‑ величины, зависящие только от единственного аргумента (h 2at 0). Физический смысл величин η 0 и ε 0 выясняется при определении температуры поверхности грунта ϑ 0, т.е. если положить x =0.

Тогда: ϑ 0Мη 0cos(2πt / t 0 ε 0).

Согласно этому уравнению, температура поверхности грунта так же, как и температура окружающей среды, претерпевает гармонические колебания, причем оба колебания имеют одинаковый период. Однако эти колебания отличаются друг от друга в двух отношениях [15-18].

Во-первых, температура поверхности грунта отстает от температуры окружающей среды во времени на величину, которая определяется значением ε 0. Во-вторых, амплитуда колебаний температуры на поверхности в η 0 раз меньше амплитуды колебаний температуры окружающей среды. Для определения количества теплоты, аккумулированной в течение полупериода, возможен еще один способ расчета, основанный на рассмотрении теплообмена между окружающей средой и поверхностью грунта [1]. Количество теплоты, передаваемой через поверхность F за время dt, равно: dQ F (Θ−ϑ 0)dt. Здесь Θ=ΘМ cos(2πt / t 0) – температура окружающей среды. Подставив эти выражения в уравнение (19) и проинтегрировав его в пределах от ta до (ta + t 0/2)−tb , найдем

. (20)

Двумерную задачу о вечномерзлом грунте полубесконечной толщины можно обобщить еще в большей степени, если положить, что изменение температуры окружающей среды [1] происходит уже не по законам гармонического колебания, а по любому другому закону. Количество теплоты, проходящей через поверхность при ее подводе или отводе в течение полупериода, находится интегрированием площади, заключенной между температурными кривыми для окружающей среды и для поверхности грунта. Результат и в этом случае представится в следующем виде: . Уравнения применимы только в том случае, если в соответствии с условиями задачи можно считать, что мерзлый грунт имеет полубесконечную толщину (без учета теплового потока из центра Земли). Можно рассмотреть комбинированный случай задачи.

Пусть такими частными решениями являются функции u = f 1 (x , y , z , t ), ν= f 2 (x , y , z , t ). Очевидно, что сумма ϑ =u также представляет собой решение дифференциального уравнения теплопроводности, поскольку оно является линейным дифференциальным уравнением [2]. Разложим искомую функцию ϑ на два частных решения u и ν . Следуя исходному решению, примем для u периодически изменяющееся распределение температуры. При решении этой задачи предположим, что колебания происходят в течение столь продолжительного времени, что начальное распределение больше не играет никакой роли. Можно получить решение для начального распределения

. (21)

Наложим на периодически изменяющуюся температурную функцию u затухающую температурную функцию v и потребуем, чтобы она для момента времени t = 0 дополняла функцию at = 0 до нуля при всех значениях х . Необходимо заметить, что при перемещении из какой-либо точки температурного поля в произвольном направлении будет характеризоваться некоторым изменением температуры. Если бесконечно малым приращениям пространственных координат соответствуют бесконечно малые изменения температуры, то такое температурное поле будет непрерывным, что даст устойчивое решение. В этом случае производная от температуры по любому направлению имеет конечную величину. Следовательно, кривая ν t = 0 должна быть зеркальным отображением кривой ut = 0 по отношению к нулевой линии температур. В начале процесса, т.е. до тех пор, пока в основном еще сохраняется исходное распределение v , оно почти полностью подавляет равномерные колебания температурного распределения u . Однако с течением времени, по мере затухания распределения v , оно оказывает все меньшее влияние на u . Соответствующим образом все в большей степени начинает проявляться в чистом виде воздействие u в качестве периодически изменяющегося температурного распределения, тогда температурное поле может определено в виде:

. (22)

На рис. 3 приведен пример расчета с пятью точками наблюдения на различных глубинах (кривые 1-5) на вертикальной прямой.

Рис. 3. Распределение температурного поля u на глубинах: 1 – 1 м; 2 – 3 м; 3 – 5 м; 4 – 7 м; 5 – 15,5 м

Для расчетов физические параметры грунта были заимствованы из работы [10], а сравнение полученных данных проводилось с результатами работы [6,9]. Результаты по качественным параметрам согласуются с имеющимися данными.

4. Нестационарное температурное поле фундамента без источников тепла

Например, фундамент толщиной 2X отдает тепло в окружающую среду с двух боковых поверхностей. Коэффициент теплоотдачи на обеих сторонах имеет одинаковое значение и равняется α . Температура окружающей среды ϑ с обеих сторон равна нулю. В момент времени t = 0 фундамент повсюду имеет одинаковую температуру ϑ =ϑ c . Пусть, далее, физические константы λ , c и ρ , а следовательно, и α постоянны. И пусть, наконец, относительный коэффициент теплоотдачи h = α /λ также остается неизменным. Требуется определить вид температурного поля и величину тепловых потерь как функции времен.

Рассматриваемая задача отличается от вводной задачи только тем, что начальная температура ϑc не изменяется вдоль оси x , а сохраняет постоянное значение. В таком случае приходим к следующей математической постановке задачи:

дифференциальное уравнение: ;

пространственные краевые условия: x =+ X , ; x =− X , .

временное краевое условие для t =0 : ϑ =ϑ c .

Дифференциальное уравнение имеет следующие частные интегралы:

и .

Начальное распределение температуры симметрично относительно осевой линии. Такая симметрия должна сохраняться в течение всего процесса выравнивания температуры, поскольку температура окружающей среды и коэффициент теплоотдачи на обеих сторонах фундамента одинаковы. Поэтому температурная функция может быть только четной и, следовательно, можно уже сейчас исключить первый частный интеграл из рассмотрения. Для согласования оставшегося интеграла c условиями на поверхности надо соответствующим образом выбрать значения n в уравнении

(nX )sin(nX )=(hX )cos(nX ).

Корни этого уравнения равны δ k =(nkX ) . Из бесчисленного множества частных решений, полученных этим путем, построим общее решение вида:

.

Значения Dk должны удовлетворять начальному условию

.

Тогда эти значения найдутся из уравнения (15):

.

Вводя обозначение δ k для (nkX ) , получим температурную функцию в форме уравнения

. (23)

Значения δ k в этом уравнении есть корни уже неоднократно упоминавшегося трансцендентного уравнения, единственным параметром которого является hX . Следовательно, сами величины δ k должны быть также функциями этого параметра. Поэтому уравнение (23) можно представить в виде

.

Несмотря на то, что по своему физическому содержанию поставленная задача зависит от очень многих отдельных параметров, эти параметры все же можно сгруппировать таким образом, чтобы в конечном счете получить функцию, зависящую только от трех аргументов.

Рассмотрим частный случай, когда величина h принимает неограниченно большие значения, иначе говоря, когда на обеих поверхностях поддерживается температура, равная нулю. Тогда решения совпадают со значениями аргументов нулевых точек косинус-функции, т.е. получает значения . Синус для этих значений аргумента всегда равен +1 или –1. Уравнение (23) принимает вид:

. (24)

В основу анализа решения положим конкретный случай, а именно, например, бетонную стенку фундамента толщиной 2X = 80 см. Пусть разность между температурой стенки ϑc и температурой окружающей среды в момент времени t = 0 будет равна 1°. Для другого численного значения надо будет только выбрать соответствующий масштаб оси температур. Коэффициент теплоотдачи α примем равным 10,8 ккал/м·ч·град. Физические величины для бетона примем равными: λ = 0,6 ккал/м·ч·град; ρ = 2000 кг/м3; c = 0,27 ккал/кг·град. Тогда:

a =λ/ c ρ= 0,0011 м2/ч и h = α /λ= 10,8/0,6=18,0 м-1 и hX = 18,0·0,40=7,2.

Корни λ k =(nkX ) трансцендентного уравнения определяются как промежуточные значения для (hX )=7,2.

Характеристические решения fk (x ) ‑ cos(nkX )= cos(δ k x / X ). Для того чтобы выделить эти решения, установим местоположение первой, второй и т. д. нулевых точек, а также местоположение максимумов и минимумов. Если значению x 0 отвечает первая нулевая точка, то последующие нулевые точки находятся при 3x 0, 5x 0, 7x 0 и т.д. Минимумы находятся в точках 2x 0, 6x 0, 10x 0, а максимумы − в точках 0, 4x 0, 8x 0. Первая нулевая точка находится из условия

; .

Определяем коэффициенты Dk из уравнения

,

Получаем:

D 1=+1,250; D 2=-0,373; D 3=+0,188; D 4=-0,109; D 5=+0,072.

Вычислим величину . Рассмотрим два случая: для t =0 и для t =5 ч.

Случай 1. При t =0 показатель обращается в нуль, а экспоненциальная функция — в единицу. Значения Dk дают амплитуды функции cos(δ k x / X )=fk (x ) и, следовательно, являются характеристическими решениями.

Случай 2. Значению t =5 ч соответствует .

Начальное распределение температуры для t =0 получается из следующего расчета:

В последнем выражении под I, II,… следует понимать отдельные частные решения. На рис. 4 эти решения представлены как в отдельности, так и в виде алгебраической суммы. Можно видеть, что первое частное решение очень сильно отличается от начального распределения температуры ϑ c =const= 1°. Необходимо отметить, что начальное распределение воспроизводится тем точнее, чем больше частных решений налагается друг на друга. Но в то же время пяти частных решений еще недостаточно для правильного графического представления распределения. Для последующих температурных распределений условия существенно улучшаются.

Распределение температуры при t =5 ч получается из следующего расчета:

Как видно из расчета, достаточно трех-четырех членов ряда для точного определения температуры. На рис. 5, как и ранее, показаны как отдельные частные решения, так и их сумма. Отметим, что по истечении 5 ч заметно охладились только самые внешние слои, в то время как внутренние слои почти полностью еще сохраняют свою начальную температуру.

При решении криологических задач обычно нет необходимости знать, как строится температурная кривая в целом из своих частных решений. В большинстве случаев достаточно располагать значением температуры ϑ m на средней плоскости пластины и температуры ϑ 0 на обеих ее поверхностях.

Рис. 4. Начальное распределение температуры ϑ c = 1° с помощью ряда Фурье

Рис. 5. Распределения температуры, наступающие через 5 ч, с помощью ряда Фурье

Для определения температуры на средней плоскости в уравнении (24) принимаем x = 0:

, (24а)

Для определения температур на поверхностях полагаем x = X . Тогда

, (24б)

В противоположность функции Φ в уравнении (24) функции Φm и Φ0 зависят только от двух независимых переменных. Они могут быть представлены в виде диаграммы. Обе переменные функции Φm и Φ0 содержат полутолщину пластины X и здесь выгодно воспользоваться выражением для температуры на средней плоскости ϑ m

, (24в)

и для температуры на внешних плоскостях ϑ 0

. (24г)

Новая переменная получена как произведение (hX )2 at/X 2=h 2at . Уравнения (24в) и (24г) представлены на рис. 6 и 7. Для конкретной задачи (при a и h зафиксированных) абсцисса пропорциональна времени t , а параметр полутолщине пластины X .

В соответствии с постановкой задачи как для охлаждения пластины в более холодной среде, так и для нагревания в среде более теплой, начальная температура ϑ c в обоих случаях представляет собой разность между однородной температурой фундамента (при t = 0) и температурой окружающей среды. Для температуры внутри фундамента ϑ нулевой точкой служит температура окружающей среды (т. е. то значение температуры, которое фундамент получает при t →∞ ). Рис. 8, а и б иллюстрирует оба эти процесса.

Зная величины ϑ m и ϑ 0, можно с достаточной точностью построить кривую распределения температуры в фундаменте, так как, кроме того, известны направления трех касательных. Действительно, из соображений симметрии в точке пересечения со средней плоскостью касательная должна быть расположена горизонтально. Обе крайние касательные при X и X должны проходить через соответствующие направляющие точки, которые удалены от стенки на расстояние s = 1/ h =λ/α .

Рис. 6. Температура ϑ m на средней плоскости фундамента при теплообмене конечной интенсивности.

Следует еще раз подчеркнуть, что при пересечении средней плоскости касательная всегда должна располагаться горизонтально. Этот факт свидетельствует о том, что предыдущие выводы одновременно дают решение еще одной задачи об охлаждении фундамента. Пусть фундамент может свободно охлаждаться только с одной поверхности, так как с другой стороны она очень хорошо изолирована (a = 0). В таком случае направляющая точка, отвечающая этой стороне, удаляется в бесконечность. Это значит, что температурная кривая в течение всего процесса охлаждения имеет горизонтальную касательную. Таким образом, все уравнения и кривые распределения температуры сохраняют силу и для этого случая, если только под X понимать полную толщину фундамента, а не полутолщину, как в основной задаче.

Рис. 7. Температура поверхности ленточного фундамента.

Рис. 8. Схематическое изображение выравнивания температуры в плоском фундаменте при однородном начальном температурном поле и при коэффициенте теплоотдачи конечной величины, а ‑ охлаждение, б ‑ нагревание.

5. Три способа расчета потери тепла Q .

Первый способ расчета. К элементу поверхности dydz из внутренних слоев фундамента за время dt притекает следующее количество теплоты:

.

Чтобы подсчитать все количество теплоты Q , отдаваемой фундаментом, это выражение необходимо проинтегрировать по обеим поверхностям и интервалу времени от 0 до t .

Второй способ расчета. Элемент поверхности dydz за время dt отдает в окружающую среду количество теплоты, равное αϑ x Xdxdydz .

Это выражение также следует проинтегрировать по обеим поверхностям и по всему промежутку времени.

Третий способ расчета. Элементарный объем фундамента dxdydz за промежуток времени от 0 до t охлаждается от температуры ϑc до ϑt . При этом он теряет количество теплоты (ϑc−ϑt )dxdydz . Это выражение следует определить для момента времени t , а затем проинтегрировать по всему пространству.

Выберем третий способ расчета. Из уравнения температурного поля (22а) непосредственно получим

.

Отсюда для потери тепла Q участком пластины размером YZ получим следующее уравнение:

.

Ряд можно интегрировать почленно, т.е. можно изменить последовательность операций интегрирования и суммирования. Поменяв местами знаки интеграла и суммы, получим

.

После интегрирования и подстановки значения Dk получим окончательный результат в виде:

. (25а)

В этом выражении первый множитель, а именно XYZϑc , представляет собой первоначальное теплосодержание фундамента, определяемое по отношению к температуре окружающей среды. Обозначим его Q c . Остальная часть выражения (бесконечная сумма) является чисто числовым множителем, который всегда меньше единицы. Этот множитель определяет ту часть первоначального теплосодержания фундамента, которая теряется за время t . Он представляет собой функцию величины δ k или (hX ), с одной стороны, и at / X 2 – с другой. Эти переменные, в свою очередь, могут быть преобразованы аналогично тому, как это было сделано выше. Следовательно, уравнение (25а) можно привести к виду (рис. 9)

. (25б)

Рис. 9. Потеря тепла Q за время t , отнесенная к начальному теплосодержанию Qc .

Рассмотрим выравнивание пространственного температурного поля.

Рассмотрим прямоугольный фундамент со сторонами 2X и 2Y , вытянутый в направлении Z настолько, что влиянием концевых эффектов можно пренебречь. Пусть фундамент имеет повсюду одинаковую начальную температуру ϑc . Пусть далее, начиная с момента t = 0, на его поверхности будет поддерживаться температура, принимаемая за нуль. Тогда для процесса выравнивания температуры справедливо дифференциальное уравнение

, (26)

с граничными условиями ϑ= 0 для x X и для y Y и начальными условиями ϑ=ϑc для t = 0. Решения для случая одномерного поля, т. е. для бесконечного фундамента толщиной 2X или соответственно 2Y , будут

ϑX /ϑc =Φ(x / X , at / X 2) или ϑ Y /ϑc =Φ(y / Y , at / Y 2).

Убедимся, что

является решением дифференциального уравнения (26). Для этого возьмем частные производные от предыдущего выражения:

; ; .

Подставляя в дифференциальное уравнение (26), получим

. (26а)

По предположению, ϑX и ϑ Y удовлетворяют соответствующим одномерным уравнениям Фурье. Поэтому уравнение (26а) представляет собой тождество и, следовательно, рассматриваемое произведение является правильным решением. Граничные условия также выполняются, так как на поверхности один из двух сомножителей всегда равен нулю. Соответствующим образом обосновывается возможность рассмотрения трехмерного случая (прямоугольный параллелепипед, цилиндр конечной длины). Если одна из граничных плоскостей изолирована, то расстояние от нее следует рассматривать как половину толщины пластины (X и т. д.) и соответственно в критерии надо подставлять полное значение этого расстояния. Этот метод применим не для любых граничных условий. Однако он сохраняет силу в условиях теплообмена конечной интенсивности и в случае односторонне неограниченного тела (например, конец длинного фундамента прямоугольного или цилиндрического сечения, торец стенки и т. п.).

Основываясь на этом методе, можно рассчитать температурное поле в прямоугольном параллелепипеде при теплообмене конечной интенсивности и дать точные таблицы для температур в средней плоскости цилиндра и стенки конечной толщины при α=∞ . На рис 10 и 11 нанесены такого рода кривые.

Рис. 10. Проникновение температурных волн в фундамент средней толщины.

Рис. 11. Проникновение температурных волн в толстый фундамент.

6. Заключение

Сформулирована математическая постановка задачи в виде дифференциального уравнения теплового баланса с учетом теплового потока, изменяющегося по закону Фурье. Решена задача расчета и прогноза распределения температурного поля в фундаменте. Разработана математическая модель сезоннопромерзающего грунта и влияние ее на снижение прочностных характеристик грунтов основания в области фундамента. Для отыскания частных интегралов, решение представлено в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от времени, а другая – только от координат. Следует отметить, что в соответствии со свойствами экспоненциальной функции положительный знак экспоненты означает, что по мере удаления от поверхности температурные колебания должны все время убывать. Причем длина волны (а вместе с ней и глубина проникновения температурных волн) будет тем больше, чем больше теплопроводность и чем медленнее происходят колебания. Колебания более высокой частоты с возрастанием глубины отсеиваются. Более характерной является такая постановка задачи, когда закон изменения задается не для температуры поверхности грунта, а для температуры окружающей среды.

Получено решение задачи, когда закон изменения температуры задается не для температуры поверхности фундамента, а для температуры окружающей среды. Согласно этому решению, температура поверхности фундамента так же, как и температура окружающей среды, претерпевает гармонические колебания, причем оба колебания имеют одинаковый период. Разработан аналитический метод и реализована схема решения задачи. Рассмотрены различные варианты постановки граничных условий. Показано затухание температурного колебания в фундаменте на различных глубинах. Отмечено, что длина волны, а вместе с ней и глубина проникновения температурных волн, будет тем больше, чем больше теплопроводность и чем медленнее происходят температурные колебания. Для подтверждения корректности постановки задачи исследованы различные варианты постановки граничных условий и представлены случаи затухания температурного колебания в фундаменте на различных глубинах. Решена задача расчета и прогноза распределения температурного поля в фундамент, имеющая важное научное и практическое применение. Таким образом, рассмотрены арктические климатические явления, имеющие важное значение для строительства геотехнических сооружений на вечной мерзлоте.

Библиография
1.
Хрусталев Л.Н. Основы геотехники в криолитозоне: Учебник. – М.: Изд-во МГУ, 2005. 542 с.
2.
Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. – М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.
3.
Патанкар С.В. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах. – М.: Издательство МЭИ, 2003. 312 с.
4.
Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. – М.: Наука, 1977. 440 с.
5.
Сидняев Н.И., Ильина Ю.С. Методы определения надежности сезонных охлаждающих установок/Криосфера Земли. – 2013, Т.XVII, №2. С.60-69.
6.
Сидняев Н.И., Федотов А.В., Крылов Д.А. Математическое моделирование распределения температурных полей/ Математическое моделирование. – 2013, № 25(7). С.3–27.
7.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: учеб.пособие. – М.: Изд-во МГУ, 1999. 799 с.
8.
Короновский Н.В. Общая геология: учебник. – М.: Изд-во «Книжный дом университет», 2006. 528 с.
9.
Сидняев Н.И., Федотов А.А., Храпов П.В., и др. Метод прогноза изменения температурного режима вечномерзлых грунтов, оснований зданий и сооружений в криолитозоне. Материалы Четвертой конференции геокриологов России. МГУ имени М.В. Ломоносова, 7-9 июня 2011 г. Т.2. Часть 5. Региональная и историческая геокриология. Часть 6. Динамическая геогриология. – М.: Университетская книга, 2011. С. 334-341.
10.
РСН 67-87. Инженерные изыскания для строительства. Составление прогноза изменений температурного режима вечномерзлых грунтов численными методами. – M.: Госстрой России, 1987.
11.
Гныря А.И. Технология бетонных работ в зимних условиях. – Томск: изд-во ТГУ, 1984. 280 с.
12.
Трапезников Л.П. Температурная трещиностойкость массивных бетонных сооружений. – М.: Энергоатомиздат, 1986. 256 с.
13.
Афанасьев А.А. Интенсификация работ при возведении зданий и сооружений из монолитного железобетона. – М.: Стройиздат, 1990. 384 с.
14.
Головнов С.Г. Оптимизация методов зимнего бетонирования. – Л.: Стройиздат, Ленингр. отд-ние, 1983. 235 с.
15.
Гныря А.И. Технология бетонных работ в зимних условиях. – Томск: изд-во ТГУ, 1984. 280 с.
16.
Садович М.А. Организация технологического процесса приготовления бетонных смесей в суровых климатических условиях: Методические рекомендации. – Братск: БрИИ, 1986. 20 с.
17.
Трапезников Л.П. Температурная трещиностойкость массивных бетонных сооружений. – М.: Энергоатомиздат, 1986. 256 с.
18.
Хаютин Ю.Г. Монолитный бетон. – М.: Стройиздат, 1991. 573 с.
References (transliterated)
1.
Khrustalev L.N. Osnovy geotekhniki v kriolitozone: Uchebnik. – M.: Izd-vo MGU, 2005. 542 s.
2.
Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Vychislitel'naya teploperedacha. – M.: Editorial URSS, 2003. 784 s.
3.
Patankar S.V. Chislennoe reshenie zadach teploprovodnosti i konvektivnogo teploobmena pri techenii v kanalakh. – M.: Izdatel'stvo MEI, 2003. 312 s.
4.
Sedov L.I. Metody podobiya i razmernosti v mekhanike. – M.: Nauka, 1977. 440 s.
5.
Sidnyaev N.I., Il'ina Yu.S. Metody opredeleniya nadezhnosti sezonnykh okhlazhdayushchikh ustanovok/Kriosfera Zemli. – 2013, T.XVII, №2. S.60-69.
6.
Sidnyaev N.I., Fedotov A.V., Krylov D.A. Matematicheskoe modelirovanie raspredeleniya temperaturnykh polei/ Matematicheskoe modelirovanie. – 2013, № 25(7). S.3–27.
7.
Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniya matematicheskoi fiziki: ucheb.posobie. – M.: Izd-vo MGU, 1999. 799 s.
8.
Koronovskii N.V. Obshchaya geologiya: uchebnik. – M.: Izd-vo «Knizhnyi dom universitet», 2006. 528 s.
9.
Sidnyaev N.I., Fedotov A.A., Khrapov P.V., i dr. Metod prognoza izmeneniya temperaturnogo rezhima vechnomerzlykh gruntov, osnovanii zdanii i sooruzhenii v kriolitozone. Materialy Chetvertoi konferentsii geokriologov Rossii. MGU imeni M.V. Lomonosova, 7-9 iyunya 2011 g. T.2. Chast' 5. Regional'naya i istoricheskaya geokriologiya. Chast' 6. Dinamicheskaya geogriologiya. – M.: Universitetskaya kniga, 2011. S. 334-341.
10.
RSN 67-87. Inzhenernye izyskaniya dlya stroitel'stva. Sostavlenie prognoza izmenenii temperaturnogo rezhima vechnomerzlykh gruntov chislennymi metodami. – M.: Gosstroi Rossii, 1987.
11.
Gnyrya A.I. Tekhnologiya betonnykh rabot v zimnikh usloviyakh. – Tomsk: izd-vo TGU, 1984. 280 s.
12.
Trapeznikov L.P. Temperaturnaya treshchinostoikost' massivnykh betonnykh sooruzhenii. – M.: Energoatomizdat, 1986. 256 s.
13.
Afanas'ev A.A. Intensifikatsiya rabot pri vozvedenii zdanii i sooruzhenii iz monolitnogo zhelezobetona. – M.: Stroiizdat, 1990. 384 s.
14.
Golovnov S.G. Optimizatsiya metodov zimnego betonirovaniya. – L.: Stroiizdat, Leningr. otd-nie, 1983. 235 s.
15.
Gnyrya A.I. Tekhnologiya betonnykh rabot v zimnikh usloviyakh. – Tomsk: izd-vo TGU, 1984. 280 s.
16.
Sadovich M.A. Organizatsiya tekhnologicheskogo protsessa prigotovleniya betonnykh smesei v surovykh klimaticheskikh usloviyakh: Metodicheskie rekomendatsii. – Bratsk: BrII, 1986. 20 s.
17.
Trapeznikov L.P. Temperaturnaya treshchinostoikost' massivnykh betonnykh sooruzhenii. – M.: Energoatomizdat, 1986. 256 s.
18.
Khayutin Yu.G. Monolitnyi beton. – M.: Stroiizdat, 1991. 573 s.

Результаты процедуры рецензирования статьи

В связи с политикой двойного слепого рецензирования личность рецензента не раскрывается.
Со списком рецензентов издательства можно ознакомиться здесь.

Предмет исследования, представленный в статье, имеет определенный научный интерес. Методология исследования, взятая на вооружение автором, демонстрирует эффективность и результативность. Статья посвящена актуальным проблемам науки, поэтому интерес научного сообщества к ней не вызывает сомнений. Статья содержит элементы научной новизны, отражающихся в выводах, которые делает автор публикации. Структура и содержание статьи соответствуют научному стилю публикаций. Библиография публикации содержит достаточное число ссылок на научные работы, которые дают полное представление о выбранной автором теме исследования. Представленный автором обзор работ других исследователей по схожей тематике, в достаточной мере дает представление о текущем состоянии рассматриваемой научной проблемы. Обоснованность выводов автора публикации не вызывает сомнений. Мысли сформулированы четко и ясно. Статья посвящена вопросам математического моделирования и вычислительного эксперимента в задачах составления прогноза изменений температурного режима ленточного фундамента, оснований зданий и сооружений в криолитозоне, которые позволят осуществлять качественный подход к проведению нестационарных тепловых расчетов грунтов и оснований для принятия проектных решений по обеспечению устойчивости и эксплуатационной надежности оснований и фундаментов сооружений в Арктической зоне. Сформулирована задача составления прогноза в виде определения изменений температурного режима, площадного распространения, мощности и вертикального строения, сезонного и многолетнего промерзания вечномерзлых грунтов, их температурно-прочностного состояния и свойств в связи со строительством зданий и сооружений. Представленные математические разработки основаны, главным образом, на предположении о нестационарности процесса теплообмена. На основании данных натурных наблюдений предложены математические модели для определения глубины протаивания. Наиболее характерной особенностью этих процессов, из-за которых их математические модели нелинейны и трудны для ее анализа, являются неизвестные заранее («свободные») границы между различными фазами (в случае однородного вещества) или «многофазная зона» (в многокомпонентной среде), определяемые с помощью поверхностей уровня функций, описывающих термодиффузионное состояние грунтов. Многие климатические явления, имеющие важное значение для геотехнических сооружений на вечной мерзлоте, представляют собой непрерывное повторение одного и того же неизменного сезонного цикла. Этим обусловливаются периодические гармонические колебания всех величин, определяющих состояние геотехнического сооружения, в том числе и температуры. Однако и при других процессах также происходят периодические гармонические изменения состояния, вызванные постоянно повторяющимися воздействиями (например, сезонные). Использованный авторами метод позволяет представить любую произвольно заданную периодическую кривую с любой степенью точности как результат наложения большого числа различного рода косинусоид. В качестве примера авторы рассмотрели задачу определения температуры в основании фундамента, ограниченной с одной стороны, в котором температура зависит только от одной координаты с условием, что температура поверхности вечномерзлого грунта под влиянием внешних воздействий претерпевает периодические колебания около нулевого значения. В работе правильно отмечено, что соответствии со свойствами экспоненциальной функции положительный знак экспоненты означает, что по мере удаления от поверхности температурные колебания должны все время убывать. Причем длина волны (а вместе с ней и глубина проникновения температурных волн) будет тем больше, чем больше теплопроводность и чем медленнее происходят колебания. Колебания более высокой частоты с возрастанием глубины отсеиваются. Более характерной является такая постановка задачи, когда закон изменения задается не для температуры поверхности грунта, а для температуры окружающей среды. Авторы продемонстрировали, что двумерную задачу о вечномерзлом грунте полубесконечной толщины можно обобщить еще в большей степени, если положить, что изменение температуры окружающей среды происходит не по законам гармонического колебания, а по любому другому закону. В методике отмечено, количество теплоты, проходящей через поверхность при ее подвод или отводе в течение полупериода, находится интегрированием площади, заключенной между температурными кривыми для окружающей среды и для поверхности грунта. Следует отметить, что уравнения применимы только в том случае, если в соответствии с условиями задачи можно считать, что мерзлый грунт имеет полубесконечную толщину (без учета теплового потока из центра Земли). Авторы подчеркивают, что при пересечении средней плоскости касательная всегда должна располагаться горизонтально. Этот факт свидетельствует о том, что выводы одновременно дают решение еще одной задачи об охлаждении фундамента и в таком случае направляющая точка, отвечающая расчетной плоскости, удаляется в бесконечность. Это значит, что температурная кривая в течение всего процесса охлаждения имеет горизонтальную касательную. Основываясь на методе, предложенном авторами, можно рассчитать температурное поле в прямоугольном параллелепипеде при теплообмене конечной интенсивности и дать точные таблицы для температур в средней плоскости цилиндра и стенки конечной толщины. Таким образом, можно отметить, что авторами сформулирована математическая постановка задачи в виде дифференциального уравнения теплового баланса с учетом теплового потока, изменяющегося по закону Фурье. Решена задача расчета и прогноза температурного поля в ленточном фундаменте, имеющая важное научное и практическое применение. Получено решение задачи для случая, когда закон изменения температуры задается не для температуры поверхности фундамента, а для температуры окружающей среды. Авторами отмечено, что согласно этому решению, температура поверхности фундамента так же, как и температура окружающей среды, испытывает гармонические колебания. Для подтверждения корректности постановки задачи в статье представлены различные варианты граничных условий и исследовано затухание температурных колебаний в фундаменте на различных глубинах. Авторам в выводах необходимо объяснить, как каждый из полученных результатов соотносится с литературными данными. В аннотации следует отметить, что работа ставится в один ряд с другими работами по данной тематике и заполняет недостающие сведения в исследуемой области. Если результаты работы подтверждают уже известные исследования, необходимо подчеркнуть, в чем именно состоит ее оригинальность и новизна. В целом работа производит положительное впечатление и представляет определенный научный интерес. Заключение. Данная статья может быть рекомендована к публикации в журнале «Арктика и Антарктика» после устранения указанных недостатков без дополнительного рецензирования. Рецензент:к.ф.-м.н., ст.н.с. Института океанологии им. П.П. Ширшова РАН Владимиров И.Ю.